Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: Eine Einführung by Jürgen Appell

By Jürgen Appell

Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand derer guy die Bedeutung mathematischer Sätze besonders intestine erkennen kann.

In den ersten drei Kapiteln werden die wesentlichen Ergebnisse über stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen zusammengestellt.

Das vierte Kapitel geht etwas über den üblichen Analysisstoff hinaus und ist "merkwürdigen" Teilmengen der reellen Achse und zugehörigen Funktionen gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünften und sechsten Kapitel behandelt.

Zum Verständnis des Buches genügt die Kenntnis einiger Grundbegriffe der Elementarmathematik (Mengen, Aussagen, Relationen, Funktionen, Induktion), wie sie in vielen Einführungskursen im ersten Semester vermittelt werden. Über die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein weiteres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels. Es ist daher auch sehr intestine als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

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Beweis: Sei (o. B. d. ) f : R → R wieder monoton wachsend, und sei x0 ∈ U (f ) eine Unstetigkeitsstelle von f . 36) lim f (x) < lim f (x) x→x0 − x→x0 + gelten, d. h. 36) die Sprunghöhe von f in x0 angibt. Wir definieren eine Abbildung 34 An dieser Stelle benutzen wir die Vollständigkeit der Menge der reellen Zahlen; dies werden wir noch öfter tun, z. B. 63 unten. 36) auswählen. Wegen der Monotonie von f folgt dann aus x1 < x2 stets r(x1 ) < r(x2 ), d. h. die Abbildung r ist streng monoton wachsend und daher insbesondere injektiv.

Dann ist f trivialerweise bijektiv und auch stetig, aber die Umkehrfunktion ist wegen lim f −1 n→∞ 1 n = lim n = ∞ n→∞ ♥ nicht stetig in 0. y 1 1 2 3 4 5 x Abb. 36 38 Wer sich schon einmal mit Linearer Algebra befasst hat, weiß, dass dies für die Linearität einer Abbildung anders ist: Falls X und Y Vektorräume sind und f : X → Y bijektiv und linear ist, so bekommen wir die Linearität der Umkehrabbildung f −1 : Y → X sozusagen „geschenkt“. Auch die Monotonie einer bijektiven Abbildung „vererbt“ sich auf ihre Umkehrabbildung, aber i.

Eben nicht die Stetigkeit. 37 unten. 32 1 Stetige Funktionen y 5 4 3 2 1 1 2 3 x Abb. 43) Die Antwort auf die zweite Frage ist subtiler, denn unsere geometrische Intuition führt uns hier in die Irre. 43) ist ein Homöomorphismus zwischen M und N gegeben, der nicht monoton ist. 37. Seien I und J Intervalle und sei f : I → J eine Funktion. Dann gilt: (a) Ist f bijektiv und stetig, so ist f streng monoton. (b) Ist f surjektiv und streng monoton, so ist f bijektiv und f −1 : J → I ist stetig, f also ein Homöomorphismus.

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