Analysis: Funktionen — Folgen — Reihen by Heinz Junek

By Heinz Junek

Dieses Lehrbuch ist eine leicht verständliche und systematische Einführung in die research. Ausgangspunkt ist der Körper der reellen Zahlen, auf dem unter maßgeblicher Verwendung der Ordnungsrelation die klassischen elementaren Funktionen konstruiert werden. Dies entspricht dem Vorgehen in der Schule. Das weitere Eindringen in die research erfordert die größere Flexibilität des Grenzwertbegriffs. Mit diesem device wird in den nachfolgenden Abschnitten in die Theorie der Folgen und Reihen, die Theorie der stetigen Funktionen sowie in die Differential- und Integralrechnung eingeführt. Das Buch schließt mit einem Ausblick auf komplexe Zahlen und komplexe Funktionen. Vielfältige Anwendungen sowie zahlreiche Beispiele, Abbildungen und Aufgaben unterstützen den Leser bei der Aneignung des Stoffes. Lösungshinweise und vollständige Lösungen der Aufgaben komplettieren das Buch.

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L - , . , =exp(x)·exp(y). k=Oj=o(k J). J. k=ok. j=oJ· 00 = L Offenbar ist die Funktion exp auf [0, 00) streng monoton wachsend. Da aber exp(x) . exp(-x) = exp(x - x) = exp(O) = 1 gilt, ist exp auch auf (-00, 0] streng monoton wachsend. 3 fUr Exponentialfunktionen gilt daher exp(x) = iT mit a = exp(l) = e, womit (*) bewiesen ist. 1 Der Stetigkeitsbegriff A. CAUCHY erkannte die grundlegende Bedeutung des Stetigkeitsbegriffs fUr einen strengen Autbau der Analysis. Die weitreichenden Foigerungen aus dieser Eigenschaft werden der Gegenstand dieses Kapitels sein.

1 Zahlenfolgen Es ist sehr sinnvoll, Folgen als spezielle Funktionen zu behandeln. 1: Eine (reelle) ZahlenJolge ist eine Funktion a: N ~ R. Die Funktionswerte an = a(n) heiBen Folgenglieder. Wir schreiben auch a = (an)neN = (an) = (ao, ai' a2' a3' ... ). Die Menge aller reellen Zahlenfolgen wird manchmal durch RN bezeichnet. Wie fUr Funktionen allgemein Ublich, so klinnen auch fUr Folgen Rechenoperationen eingefUhrt werden: (an) ± (b n ) ( an ) . ( bn ) 1. 2. Addition und Subtraktion: Multiplikation: 3.

2 (Monotoniekriterium): Eine Reihe mit nichtnegativen Gliedem ist genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen beschrltnkt ist. Beweis: Sind aHe an ~ 0, so ist die Folge der Partialsummen monoton wachsend. 1. 104 gilt fUr die Partialsummen ni II lIn I 1 L 2=1+-+-+... $;1+-+-+... =1+ L--$;I+ L--=2. k=l k 4 9 2·1 3·2 k=2 k(k-l) k=2 k(k-l) 00 Nach dem Monotoniekriterium ist die Reihe daher konvergent. Mit der Technik der sogenannten Fourier-Reihen kann man den Grenzwert berechnen, es ergibt sich die transzendente Zahl1t2/6.

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