Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche by Otto Forster

By Otto Forster

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Offen ist, ist es eine Umgebung von a und wegen limx, = a gibt es ein NE N, so dass Xn E U» für al1e n > N . Außerdem liegtjedes x, in einem gewissen Uik' Es gilt dann A C Uio UUil U .. ,UU;NUU;*, Wir haben also eine endliche Teilüberdeckung gefunden. nicht mehr, wenn man aus A den Grenzwert der Folge weglässt. O} c IR. Behauptung: A ist nicht kompakt. Beweis. ,2[ und Un:=]n~l'n~d fiirn~2. Un ist offen, also (Unk~l eine offene Überdeckung von A. Jedes Un enthält genau einen Punkt von A, nämlich ~.

A) Wir behandeln zunächst den Fall n = 1. Die Ableitung f' : [a, b] -+ )R ist nach Voraussetzung stetig, also sogar gleichmäßig stetig. s mit lr c-s] ::;;1). Sei nun t, t E [a, b] mit 0 < It zwischen t und 't , so dass tl ::;; 1). Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein s f(t) - f(t) = I(s) . t-t Also ist I f (t) - f(t) -/(t)1 = I/(s) -/(t)l::;; E. t-t b) Sei jetzt n beliebig undf = (/1, .. ,In). 7) Ilf(t~ =~('t) -/(t)11 ::;; y'n. i~~nIJi(t~=~('t) - /;(t) 1' folgt die Behauptung aus Teil a). Beweis von Satz 1.

Dann ist die § 5 Partiel1e Ableitungen 55 zusammengesetzte Funktion x t-+ f(r(x)), die meist kurz mit f(r) bezeichnet wird, auf R" -, 0 definiert und dort partiell differenzierbar. Aus der Kettenregel für Funktionen einer Veränderlichen folgt aaXi f(r) = I(r) aarXi =/(r):!.. 4) Sei n F(x) ~ = 2. Wir betrachten die wie folgt definierte Funktion F : IRn { -> IR XlX2.. ·Xn für ~ 0 r(x)n x, o für x = o. In IRn -, 0 ist F partiell differenzierbar, wie aus dem vorigen Beispiel und der Produktregel für Funktionen einer Veränderlichen folgt.

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