Analyse 1 by Giroux A.

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par los angeles proposal de limite d'une suite ou d'une série numérique et son program à l. a. représentation décimale des nombres, en poursuivant avec l. a. concept de fonction proceed et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par los angeles définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un element de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.

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On aura donc |f (xn ) − L| < d`es que n > nδ ce qui montre que f (xn ) → L. Le premier ´enonc´e implique le second. Supposons en fait que la deuxi`eme assertion est fausse et montrons qu’alors la premi`ere est fausse elle aussi. Nous supposons donc qu’il existe > 0 pour lequel, quelque soit δ > 0, on peut trouver au moins un point xδ ∈ ]a, b[ pour lequel on a simultan´ement 0 < |xδ − x0 | < δ et |f (xδ ) − L| ≥ . 53 En choisissant successivement δ = 1, 1/2, 1/3, 1/4, . , on obtiendra une suite {xn }n∈N de points de ]a, b[ distincts de x0 pour laquelle on aura lim xn = x0 mais f (xn ) n→+∞ L.

Les nombres rationnels Q sont d´enombrables. On a 1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5 1 Q ∩ ]0, 1] = {1, , , , , , , , , , , , , . } = {x1,1 , x1,2 , x1,3 , . } 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 7 et, de fa¸con semblable, Q ∩ ]n − 1, n] = {xn,1 , xn,2 , xn,3 , . } 48 donc (´enum´eration en diagonale) Q ∩ ]0, +∞[ = {x1,1 , x1,2 , x2,1 , x1,3 , x2,2 , x3,1 , x1,4 , . } et finalement Q = {0, x1,1 , −x1,1 , x1,2 , −x1,2 , x2,1 , . }. Th´ eor` eme 23 (Cantor) Les nombres r´eels ne sont pas d´enombrables. D´emonstration. Supposons le contraire.

Nous supposons donc qu’il existe > 0 pour lequel, quelque soit δ > 0, on peut trouver au moins un point xδ ∈ ]a, b[ pour lequel on a simultan´ement 0 < |xδ − x0 | < δ et |f (xδ ) − L| ≥ . 53 En choisissant successivement δ = 1, 1/2, 1/3, 1/4, . , on obtiendra une suite {xn }n∈N de points de ]a, b[ distincts de x0 pour laquelle on aura lim xn = x0 mais f (xn ) n→+∞ L. D. Lorsque les conditions du th´eor`eme sont satisfaites, on ´ecrit lim f (x) = L x→x0 (lire : f (x) tend vers L lorsque x tend vers x0 ).

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